1.4 对教学效果的评价
定义 $\mathcal{H}_s$ 为在进行学习活动前的某个学生， $L$ 为 $\mathcal{H}_s$ 的在学习活动中进行的信息处理函数，$d$ 为这个学习活动中提供的学习材料，$\mathcal{H}_e$ 是学习活动后的学生，且有 $\mathcal{H}_e = L(\mathcal{H}_s, d)$ , $E$ 是某个测试函数，$\Delta t$ 是学习过程进行的时长，$p$ 为学生在学习过程中积累的痛苦值，定义学习效果为 $r$ ， 有：
$$r = \frac{E(\mathcal{H}_e) - E(\mathcal{H}_s)}{\Delta t}$$
测试函数的内容可以从简单的拨动灯具的开关，到充满创造力的独立制作一个皮克斯水准的动画片。
教学的目标就是最大化 $r$ 和最小化 $p$。具体地，我们可以分为三个级别：
- 可能性标准：至少能学会，即使花费大量的时间，也就是只关心 $r$ 值的分子部分
- 功能性标准：不仅能学会，而且可以在更短的时间内学会，同时痛苦值不至于逼得学生放弃
- 娱乐性标准：不仅可以高效率学会，同时拥有类似于电子游戏的娱乐轻松感
如果测试是法语，但是教学材料是日语，对于一个只懂中文的学生，就无法达到可能性的标准。可以认为现有的所有被大量采用的学习材料都具备可能性标准，因为我们可以观察到一定比例的学生可以通过测试，也就是存在可以学会的路径。
但是，现有的学习材料大多数都达不到功能性标准，也就是会有大比例的学生会被卡住，或者要忍受大量的理解教学材料的痛苦。与此同时，很多形式的学习材料，缺乏测试环节，学习效果通常由学习者感性得到，但人会有学会错觉（Illusion of Competence），从而错估了学习效果。
本文的目的就是要阐述如何让学习材料达到功能性的标准，并尽可能对学习增添娱乐性糖分。在接下来讨论的过程中，我们用掌握程度来描述 $r$ 值，用疲惫程度和娱乐程度来表示 $p$（根据其正负来定）。对于娱乐性，如果学习过程带来了痛苦，那可能会让学生放弃和回避，增加下一次学习的启动成本；如果带来的是成就感就可能促使学生想主动的进行更多尝试。
在学习效果的定义中，我们借鉴了机器学习中的字母表示，机器学习和教学过程有着一定的相关性：
- 机器学习是在明确了可训练数据 $d$ 的情况下，去寻找某个可以识别样式的 $\mathcal{H}$
- 教学过程是在拥有一个强大识别样式的算法 $\mathcal{H}$，去准备提高训练效率的数据 $d$
- 在教学过程中，我们同样会遇到统计学中所出现的概念，例如，交叉验证以及偏差和方差之间的权衡等。进行这样的计算学表述，将对后文中发现教学问题并改善教学效率有着直接本质的分析效果
从解题的角度来看待
解决问题时，解题者相当于在一个加权有向无环图（Weighted Directed Acyclic Graph）中，对答案进行搜索。在这个加权有向无环图中，
- 起点就是题目的字符串
- 每一个边，就是从一个信号，所指向的一个转化函数
- 而任何信号，都可以指向任何转化函数
- 每一个边的权值，就是二者连接的强度，也可以看作是阻力
- 在没有信息摄入时，转化函数之间没有区分性，每一个边的概率趋近于零，而阻力趋近于无穷大
- 解题本身就是对这些转换函数的执行和目标字符串的查找，而题目的难度等价于单位时间内查找路径中阻力的总和