4.2 知识结构测绘

4.2.2 技巧的统计

经过之前的讨论，当明确了如何解决问题的方式之后，我们可以对题目解答过程进行分解：什么样的信号下，应该采取什么样的行为？信号如果过于具体，解决范围过小，那么记忆量就会达到不可接受的级别；信号如果过于抽象，解决范围会很大，但可训练度下降，学习痛苦增加。

相比于科研，教学过程的要求可以很低，或者说可以从很低的层面开始。通常情况下，需要处理的信号明确，方法也直接，甚至机械。对学生的理解，是可以有不同级别的阶段，从仅仅知道术语，到能够流畅执行常规的技术，学生在教学过程中的经历，就是其对这一块知识点解决范围逐步扩大的过程。作为提供内容的教育工作者，其实就是要考虑，如何在学生不同的学习阶段，提供恰当的学习材料。

学习就是对技能的记忆，只不过有一些技能比较抽象，不易训练。

无论是路径还是信号，我们应该统计：

1. 在考察当中出现的频率（不一定是直接考察，可能是解决问题的一个边）
2. 强健程度，是否在大多数情况下实用有效
3. 抽象程度，是否需要学生去识别一些隐藏的样式，很大程度上决定了可训练度
4. 计算复杂度，是否需要大量的计算步骤，增加学习负担

为了简化处理，可以综合对技巧强健程度、抽象程度、计算复杂度的分析，而得到技巧的难度指标。也就是技巧最重要的两个指标，频率和难度。

有了这些统计数据，可以使得在教学结构上的安排有所依据。为了便于讨论，也基于实际需求，我们对学生解决半径的要求到达一定范围即可：熟知新鲜术语概念，流畅使用常用技巧，能够与其他知识结合，能够进行简单的变形和构造。

4.2.2 技巧的生产

主要遴选的技巧，自然是实际中使用频繁或者是经常考察的技巧。

复杂技巧的片段

包括了片段化信息处理，也包括了复杂技巧的一个边。

尤其是那些，多个技巧共用的或者是理解比较困难的片段，例如，

1. 化简：$2^3 + 2^4 + \cdots + 2^{n+1}$
2. 化简：$2^3 + 2^7 + \cdots + 2^{39}$
3. $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$，说明？
4. $2 \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$，说明？

类型题的合并

例如，下面两个题目是一种题型：

1. 五个人排队，甲不能站在最前，有多少种排法?
2. $0,1,2,3,4$ 五个数字，能组成多少不同的五位数？

技巧变形的穷举

例如，对于解三角形中，

1. 已知 $a, b, c$， 可以得到？
2. 已知 $A, b, c$， 可以得到？
3. 已知 $A, a, c$， 可以得到？
4. 已知 $A, B, c$， 可以得到？
5. 已知 $A, B, a$， 可以得到？
6. 已知 $A, B, C$， 可以得到？

甚至，限制更少的：

1. 已知 $a, b$， 可以得到？
2. 已知 $A, a$， 可以得到？
3. 已知 $A, b$， 可以得到？
4. 已知 $A, B$， 可以得到？

相似题型的别扭

1. $f(2 +x) = f(x)$，说明？
2. $f(2 +x) = -f(x)$，说明？
3. $f(2 -x) = f(x)$，说明？
4. $f(2 -x) = -f(x)$，说明？
5. $f(2 -x) = f(-x)$，说明？
6. $f(2 + x) = f(-x)$，说明？
7. $f(x - 2) = f(x)$，说明？
8. $f(x - 2) = -f(x)$，说明？

简单题型的逐步提升

$\log_2{3} = a$，求：

1. $\log_3{2}$
2. $\log_2{\frac{1}{3}}$
3. $\log_3{4}$
4. $\log_4{9}$
5. $\log_9{\frac{1}{4}}$
6. $\log_2{6}$
7. $\log_4{6}$
8. $\log_8{9}$
9. $\log_{12}{27}$
10. $\log_{18}{8}$