4.3 课程结构

颗粒化，提高训练效率；结构化，提高训练回报率

前章是讨论颗粒化之后的高效训练，本节所讨论的是结构化知识点，从而在更高的层级上提高训练回报率。

熟练常考点；流畅别扭点；建立熟悉感

课程结构的设计，就是知识点授课先后的路线图。对知识点进行区分排序的属性依据，主要就是前文所述的考察频率、强健程度、抽象程度以及计算复杂度。

课程结构的设计，可以类比为，为一个来到新城市定居的移民介绍这个城市。我们要根据日常生活中使用频率的高低，对一些主要的地标场所和主要街道进行介绍，这样接下来当其需要解决问题的时候，会从这些最常用的道路去尝试解决，同时也增加了平时其和他人交流的便利。

对于课程结构的设计，应该是随着课程的推进，学生可以解决问题的半径在逐步增大，尤其是对于基础、高频、通用的问题覆盖面逐渐变大。我们可以对课程结构分为入门、必备、进阶、拓展四个层级。入门级别可以认为是科普或猎奇级别的理解和记忆，由于入门级别的任务较轻，本文把入门放入必备中，从而，本文对课程结构分为必备、进阶、拓展三个层级，如果学生对某个领域想略有理解，而不是熟练地掌握相关的技能，并不作为本文的讨论重点。

对于必备阶段，最开始需要传递的，自然是定义和概念，使用的频率最高，因为所有相关的问题都要涉及到定义和概念的信息处理。熟练准确扎实的掌握定义，是使用更为复杂技能的基础。进一步需要传递的，应该是最常用的性质和定理，可以认为是解决一类问题的必经之大路。

在必备阶段，对结构的设计不仅仅要考虑到技巧的使用频率，还要考虑学生的学习体验。由于学生对于领域的生疏，陌生感就如同来到一个不讲母语的新国度，很容易对新鲜信息产生恐惧感，所以这个阶段一个首要任务，就是让学生对领域建立熟悉感，让他们成为自己熟悉不畏惧的朋友，有信心和兴趣去和新城市里的朋友去聚会、进一步交流。

熟悉信号、建立信心是必备阶段一个重要的指标。从而，尽可能的找使用频率高、复杂度较低的技巧。而且尽可能的使用算法级别（或者强策略技术）的套路，而不是让学生提早理解深层规律，同时要避免过早抽象。即使是一些需要注意的特殊情景，也最好先不提及，而是让学生有种一学就会、一用就灵的舒适学习体验。

学生在必备阶段的训练，不仅能够建立熟悉感，而且也是积累实例的过程（我们假设学生会潜意识的处理实例，分析其共有的特征），为下一步进行更为抽象技能的传递做好数据积累、样式识别的准备。通过必备阶段的学习，学生突破了概念上的逾越，对信号处理的迷茫，不仅能够解决常规问题，也可以有更好的基础去挑战更为复杂和变形的问题。

进阶阶段的学习，一方面可以是对必备阶段技巧的通用性的抽象描述，学得越多，需要记得笔记越少，并且通过简单的变形拓展，进一步提高解决问题的半径；另一方面也可以是对更加低频和更为抽象技巧的传递。相比必备阶段，进阶阶段的学习，让学生对领域的理解更加深入本质，也让学生进一步积累更多的知识点词汇。提高流畅度，理解通用性，增加词汇量，就是进阶阶段的三个任务。

拓展阶段的学习，在日常教学的使用频率不是很高，就是让学生积累更多的频率更低的技能，理解更为抽象的通用解决问题的办法。拓展阶段的技能要么使用场景少，要么可训练度很低，并不是很容易吸收掌握。可训练度低是技能本身的特性，可以认为无论教学形式如何变化，在有限时间、有限训练样本内，其适用的学生群体比例都是有明显上限的。

优先选择的知识点，应该是那些特征突出明显、出现频率高、解决起来强健、理解起来困难的知识点。

一般来说，可以按照这样的结构，逐步增加解决问题的范围：

1. 首先讲授的，是概念的定义，最常见的性质或公式

2. 接下来，是使用频率极高的短距技巧，尤其那些题目短小，解法强健，理解上令人别扭的技巧

   • 这样的技能，可能是在综合题目中作为一个边，反复出现，而不一定是直接考察的技能
   • 这样的技能，可以对常见定义和性质，达到熟练的掌握，达到膝跳反射级别的反馈

3. 再往后，是频率较高且强健的词汇，为了提高覆盖面，那些容易理解的可以选择以测代讲

上面三个，以及这些技巧（包括微弱的变形）的结合，可以说是基本功的训练

1. 接下来，是基于工具的弱策略技巧，恰当的变形构造或是愿景营造，可以说是基本功的拓展
2. 与此同级别的，是基于变量的函数和方程的弱策略技巧
3. 与此同级别的，是对基本功技巧的更通用的抽象和更广泛的应用
4. 再往后，是基于穷举的抽象策略，以及不可缩减的尝试探索策略

以及，从词汇积累和抽象程度上的逐步扩大解决问题的范围：

1. 积累更多的、使用频率较低的词汇
2. 学习解决范围较大却抽象程度较高、不易训练的技能

先扎实基本功，再积累低频词汇

综上所述，课程结构的设计，既要考虑解决问题半径的逐步扩大，也要考虑学生学习效果的最大化。正如前文所说，教学者常常急功近利，贪多而不求精，相比多讲低频知识点，扎实掌握基本功更能事半功倍。

1. 扎实掌握基本功可以建立信心，降低恐惧
2. 熟悉实例的积累，降低陌生，加快抽象运算
3. 常见路径的熟悉，更容易去掌握低频知识点
4. 学生记忆容易褪去，扎实的基本功训练是最划算的投资

故而，在教学过程中，宜逐级训练，在某一级别上达到一定的标准后，再继续下一个层级的讲解和训练。正如前文所述，教学者常常希望通过少量的、综合的题目的讲解，来提高效率，一方面，教学者低估了这种讲法对学生的难度，另一方面，也高估了这种教学方法的效率，欲速则不达。

【案例】高考数学中一元函数的导数

第一环：基础技能

1.1 求导运算

为了进行求导运算，

1. 需要掌握常见函数的导数公式，例如, $(e^x)’ = e^x$
2. 需要掌握四则运算的求导，例如，$(fg)’ = f'g + fg'$
3. 需要掌握复合函数的求导，例如，$(e^{x^2})’ = 2x e^{x^2}$

求导运算，作为导数的起点，是一种逻辑的结果，也可以看成是一种逻辑的初设。

因为现在我们讨论的是数学，是逻辑的计算结果，而对于科学，例如，$F=ma$，可以认为是一种特殊的逻辑初设，符合现实世界观察结果的一种模型初设。

1.2 求切线方程

求导运算，可以应用到求某一切点的切线，例如，$f(x) = e^x$ 在 $x=1$ 处的切线方程

求切线方程，是基于求导运算和已经掌握的技巧（点斜式求直线方程）而得到的一个新的技巧。

结合拓展：$A \& B \Rightarrow C$，在这里，$A$ 指的是求导运算，$B$ 指的点斜式求直线方程，$C$ 指的是求切线方程

1.3 讨论不熟悉函数的单调性

基于导函数的正负，决定原函数的增减，求解新鲜函数的单调区间，例如，$f(x)=x^3 - x$

可以根据导函数的性质，逐步提高难度：

1. 导函数是熟悉的函数，例如，$f’(x)=3x^2 - 1$
2. 导函数是两个熟悉函数的乘积，例如，$f’(x) = (x+1)e^x$

对于 $f’(x) = (x+1)e^x$ ，这个函数依旧是一个新鲜函数，但我们只关心正负性 ($\text{sign}((x+1)e^x)$) ，而对于它的大致图像或其他性质并不关心。

由于它是由两个熟悉函数乘积而成，可以分别讨论，尤其是 $e^x > 0$ 恒成立，那么 $\text{sign}((x+1)e^x) = \text{sign}(x+1)$，这样一步转化，将一个新鲜情景，转化成了一个熟悉的、简单的、可以解决的情景。

如果我们毫无助力的让学生解决：$f(x) = xe^x$的单调区间，我们就是把这一步，基于工具的策略，交给学生探索尝试，

1.4 讨论不熟悉函数的极值与最值

基于单调性，研究新鲜函数的单调区间

例如，$f(x)=x^3 - x$ 在 $[-2, 3]$ 的极值和最值

例如，$f(x)=e^x - x - 1$ 的最小值

第二环：必备技能

2.1 导函数需要二次求导

例如，$f(x) = 2e^x - x^2 - 2x$ 的单调区间

二次求导，就是把导函数当成是原函数，再次研究其性质。这需要对一次求导熟练掌握后，拓展其解决问题半径的一个新技能。

2.2 证明恒成立

例如，证明：$x \geqslant \ln(x + 1)$

例如，证明：$e^x \geqslant x + 1$

根据技巧 $1.4$ ，我们可以得到 $f(x)=e^x - x - 1$ 的最小值是 $0$ . 所以，这个技能是 $1.4$ 技能的应用，而为了利用上 $1.4$ ，我们需要对 $f(x) \ge g(x)$ 进行变形， $f(x) - g(x) \ge 0$，从而利用上 $1.4$ 。

这样，在没有这个技能训练前，这种题型，实质上是应用了“基于工具的启发策略”，需要解题者，自主的探索和尝试。从能力上，需要解题者对技能 $1.4$ 有熟练的掌握，能够快速的识别提取，对 $f(x) \geqslant g(x)$ 的常见变形式能够迅速展开。

在讲解了这个技能后，这种题型，就被弱化成了“强策略技术”，可以降低解题复杂度。一般来说，在高考情景下，大多考生是通过平时做题训练，潜移默化或刻意归纳出了这样的题型，而很少在考试过程中去应用通用的弱策略去探索尝试。讲解这个技能，一是降低了学生的探索成本，二是强化训练了技能 $1.4$ ，三是提高了学生对于应用导数的信心和熟悉感，四是积累了“基于工具的启发策略”的实例。相反的，如果没有类似的引导，也缺乏“基于工具的启发策略”的专门训练，就会让学生感到挫败，无法通过实例的积累，去归纳这类问题的共同特征。

2.3 导函数是三角函数

例如，求 $f(x) = \sin^2{x} \sin{2x}$ 在 $(0, \pi)$ 的单调区间

之所以，将三角函数，单独列为一个技能，一是因为三次函数、$e^x$、$\ln x$的导函数正负接近于解决一次函数，而三角函数增减区间复杂，形状差别较大，分离开来，可以降低技能的复杂度。二是因为相比较而言，三角函数的出现频率较低，倾向于让学生对三次函数、$e^x$、$\ln x$的处理更加流畅，从而分离开来。

但是由于三角函数使用类似的策略，在解决三角函数时，可以认为是进阶的去使用更为抽象的策略，之前三次函数、$e^x$、$\ln x$的技能为此提供了扎实的实例基础。

2.4 含参求单调性

例如，求 $f(x) = ae^x + x$ 的单调区间

参数的引入，增加了抽象程度，把之前一个明确的函数，变成了一类函数，随着参数的变化，找到可区分的不同情景。

2.5 未知切点

例如，若 $y=kx$ 与 $y=e^x$ 相切，求 $k$

解决这个问题，需要使用“基于变量的方程策略”，为了能够利用上导数，需要设出切点，建立起方程求解。

2.6 大致图像

例如，画出 $f(x) = \ln x - \frac{x+1}{x-1}$ 的大致图像

2.7 零点个数

例如，求 $f(x) = \ln x - \frac{x+1}{x-1}$ 的零点个数

第三环：进阶技能

3.1 含参数的需要二次求导的单调区间

例如，求 $f(x) = e^x + ax$ 的单调区间

3.2 含参数的恒成立问题

例如，若 $\ln(x+1) \leqslant ax$ 恒成立，求 $a$

3.3 特殊值零点的恒成立问题

例如，证明：$e^x > \ln (x+2)$

3.4 含参数的零点个数

例如，若 $f(x) = x^3 - kx + k^2$ 有三个零点，求 $k$ 的取值范围

第四环：拓展技能

4.1 结合放缩法，证明恒成立

例如，证明：$\ln n > \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$

根据放缩，我们可以把问题转化为 $\ln n - \ln (n-1) > \frac{1}{n}$

进而可以转化为技能 $2.2$，也就是，证明： $\ln x - \ln (x-1) > \frac{1}{x}$

也可以对 $\ln x - \ln (x-1) > \frac{1}{x}$ 进行转化，从而利用上 $e^x \geqslant x + 1$

$\ln \frac{x}{x-1} > \frac{1}{x} \Leftarrow \ln \frac{1}{1-t} > t \Leftarrow \ln (1-t) < -t \Leftarrow 1 + x < e^x$

4.2 端点效应

例如，若 $e^x - 1- x-ax^2 \geqslant 0, x\in (0, +\infty)$恒成立，求$a$取值范围

4.3 切线个数

例如，若过 $(a, b)$ 可做 $f(x) = x^3 -x$ 三条切线，求证：$-a < b < f(a)$

4.4 利用重要不等式

例如，证明：$e > (1 + \frac{1}{n})^n$ 恒成立

结构关系的确定

导数技能之间的关系图（DAG），其中虚线代表可以依赖（结合）相关技能来拓展解决问题范围

技能层级的划分，是由训练回报率决定的。

设技能的训练回报率为 $r$，考察分数期望值 $p$，训练期望时长为 $t$，依赖于本技能的子技能 $sc_i$，在子技能中的权重（按照训练时间比率） $w_i = \frac{t}{t_{sc_i}}$，那么有：

$$ r = \frac{p + \displaystyle \sum_{i=1}^n{w_i p_{sc_i}}}{t}$$

考察分数期望值是有考察频率和考察分值来决定的。不同的知识模块，由于回报率的不同，自然优先选择训练时长短，考察频率高的知识点，例如，高考数学中的集合和复数。

训练期望时长，由技能的复杂度决定，如果训练用时过长，因计算复杂或抽象，给学习者带来的痛苦过多，那么，我们要尝试分解问题，将其中一些困难步骤，剥离开来，形成一个新的技能点。

训练期望时长，同时受到学生本身认知能力的影响，对于一个学习能力、总结能力强的学习者，那么TA的训练时长就会短。

这样，在判断环数层时，我们既考虑了技能的复杂程度，也考虑了技能的使用频率。与此同时，因为技能之间的依赖关系，子技能的环数不能低于父技能。

如果考察的题目，都是外环的技能，例如，当前（2020年左右）的高考数学中的导数题目，也无法让学生越过基本功的训练，直接高强度的硬拔训练外环技能。这不仅要求学生掌握更高阶的技能，同时也对学生在低阶技能上的熟练度有很高的要求。也就是说，如果我们更早的训练外环的技能，那么学生要承受更大的复杂度的折磨，虽然训练效果不能更快的从测试中得到体现，但仍然要看到学生解决问题能力和解决问题半径的扩大，为娴熟解决高阶问题打好了基础。

如果不仅都是外环技能，要么需要多次使用通用的弱策略，要么需要积累大量的词汇，也就是说，每一种题型的复杂度都很高，无法通过简单的关联，从而缩减计算量，那么只能认为这样的验收题目难度很大，例如，高中奥数题目。如果这是在一个需要区分度的考试中，那么出现过多的弱策略探索的题目，可能会使得试卷缺乏对不同掌握程度的区分，例如，2003年全国高考理科数学题目。

所谓技能，就是免于探索的指明

$$\frac{5}{2-i}$$

上面这道复数题目，放在高考数学中，往往是全卷中最简单的题目，但如果一个学生只是知道 $i^2 = -1$ 这个定义的话，而没有技能的训练，这样一道简单的题目也是有挑战的，或许设 $a + b i$ 待定系数还算直接，但是乘以 $\frac{2+i}{2+i}$ 来化简，注意到平方差公式可以消去分母中的 $i$，就不那么容易想到。

在技能的遴选中，降低复杂度和提高通用性是一个艰难的平衡。通用性太强，增加了复杂度，也就增加了训练时长，训练的效果也可能不尽人意，也就是训练的回报率很低。如果过于具体，那么解决半径就有限，虽然为通用性积累的实例，但若是需要积累的实例太多，也就是技能的数量很多，那么训练的时长同样很长，回报率同样不好。这和机器学习中，偏差-方差的平衡（Bias-Variance Tradeoff）是类似的。对于那些困难的问题，就如同分叉很多的狭路，费神费力，而作为教学题目，应当和教学内容结合度高，处在学生短时间内可以探索到的范围之内。

训练回报率和最后的技能掌握程度有强相关性，主要原因还是因为学生的兴趣所致，例如，学习编程，如果学生使用Python开始学习，比使用C语言更容易简直

【案例】解决半径的提升，一元导函数

导函数正负可以判定的函数：

类型1：$f’(x) = e^x - 2$ 是一个熟悉的、可以判断正负的导函数

类型2：$f’(x) = e^x(x - 2)$ 是一个恒大（小）于零乘除一个熟悉的函数

类型3：$f’(x) = (e^x-2)(x - 2)$ 是一个熟悉的函数乘除另一个熟悉的函数（包含了类型2）

类型4：$f’(x) = e^x - \cos x, \, x > 0$，是两个熟悉函数加减，但可以讨论出正负的函数

类型5：$f’(x) = e^x- 2x$ 是一个不熟悉的函数，但其导数是以上几种类型之一

类型6：$f’(x) = e^x- a x$ 通过增加参数，从而提高抽象的一类函数

基于导函数正负可以判定，来解决实际问题：

类型7：$f(x) = e^x - x - 1$的极值和最值

类型8：利用最值性质，证明恒成立问题：$e^x\geqslant x + 1$

类型9：利用图像性质，判断零点个数：$f(x) = e^x - x^2$

类型9：利用极值点性质，证明恒成立问题：$e^x\geqslant \ln (x+2),\, x > 0$

类型10：通过增加参数，从而提高抽象，解决一类问题：若$a e^x\geqslant x + 1$，求 $a$

不仅仅是解决问题半径在提高，学生对于知识的熟练度也在提高，例如，掌握类型6之后，对于类型1，就会显得非常轻松。与此同时，也提高了学生对于复杂以及抽象问题的容忍度。

既要考虑技能的离散频率统计，也要考虑技能的复杂度和技能间的内在关系

对于一个出色的考题，考察频率和技能之间的关系应该是有很强相关性的。

【案例】解决半径的提升，可以解决的原函数

【案例】解决难度的提升

类型1：实例的变化，以及计算复杂度的提高

1. 证明：$e^x \geqslant x + 1$

2. 证明：$ \ln(x+1)\geqslant \dfrac{x}{x+1}, \, x>0$

3. 证明：$(x+2)\ln(x+1)\geqslant 2x, \, x>0$

以上三个例题，虽然使用的策略是一致的，但是每一个题的本身的求导和讨论的计算复杂度是不一样的。而这些额外的复杂度，并不是技能所着重解决的，在最初训练时，应当降低没必要的复杂度，让更多的计算力放在对策略的通用性的理解上。

类型2：分步测试，多给积极评价和信心建立

证明：$e^x \geqslant x + 1$

1. $f(x) = e^x -x-1$ 的导函数是什么？
2. $f(x) = e^x -x-1$ 的增减区间是什么？
3. $f(x) = e^x -x-1$ 的最小值是什么？

类型3：通用性的提高

1. 参数的引入：$e^x\geqslant x + m$ 恒成立, $m$ 的最大值
2. 策略的迁移：解不等式 $e^a \leqslant a + 1$

类型4：和其他知识点的结合

基于之前颗粒化原则，一般来说，知识点的结合不宜在颗粒化知识讲解中测试。

1. 证明：$e^x$ 在 $x=0$ 处的切线，始终在 $e^x$ 曲线之下

【案例】微波炉的界面设计

例如，现在我们有一个微波炉，如果只有一个+30度的按钮，那么通用性就很强，入口也很清晰，但是如果有十五个按钮，对于不同的情景（加热玉米还是加热）都对应一个按钮，入口开始变得复杂。好处是，如果我们恰巧是

但一般来说，我们倾向于降低复杂度的技能训练，也就是对可训练度高的技能的训练，这样的好处前面已经表述，简而言之，如果学生洞察能力强，这种实例化的技能，有利于TA的归纳，如果学生不擅长于找到规律，至少TA能够解决一些特例化的情景，建立起对知识的信心和熟悉感，学习动力的提升为积累更多的实例，奠定了基础，提高了找到规律、归纳总结的可能性。