25 Jun 2026

2007年高考全国卷II物理大题的错误

一道简单的压轴大题

对于一个有良好物理学训练的学生来说，第25题是一道很简单，很容易拿分的一道题目，情景简单，公式好列出，唯一的麻烦在于数学上的计算和求解。但这道题，出现了一个极其低级的事实性错误，命题组是非常不负责任的。

这道题目的第一问，非常的简单，很容易发现系统的自由度被 $h$ 和 $l$ 所限制，而和 $E$ 无关。

口算可知，水平速度 $v_0$ ：

$$ v_0 = \frac{l}{t} = l\frac{1}{\sqrt{\frac{2h}{a}}} = l {\sqrt{\frac{a}{2h}}} $$

垂直速度 $v_1$ 为：

$$ v_1 = \sqrt{2ah} $$

所以粒子经过 $C$ 点时速度方向与 $x$ 轴正向的角度 $\alpha$ 为：

$$ \tan \alpha = \frac{v_1}{v_0} = \frac{2h}{l} $$

第二问，也是很简单的，就是需要求解一个圆 $P$ 的半径，圆过 $A$、$C$ 两点，且 $PC$ 的倾斜角和 $\alpha$ 互余。

从数学解析几何的角度来看，这是非常常规的一个题目，我们可以写出 $PC$ 的方程：

$$ y = \frac{l}{2h}(x -l) $$

也可以很快的写出 $AC$ 中垂线的方程，首先，$AC$ 的倾斜角与 $\angle ACO$ 互补，所以

$$ k_{AC} = -\frac{h}{l} $$

那么中垂线的方程为：

$$ y - \frac{h}{2} = \frac{l}{h}(x - \frac{l}{2}) $$

中垂线和 $PC$ 联立，就可以得到圆心 $P$ 的坐标：

$$ (-\frac{l^2}{2}, -\frac{h^2 + l^2}{2h}) $$

上面的式子，说明一件事，$x_p < 0$ 且 $y_p < 0$，也就是说圆心 $P$ 在第3象限。而题干中分明的指出：

此时速度方向和 $y$ 轴正方向成锐角

这是错误的，是永远不可能发生的情景。命题组以及那些检验这个题目的人员，都没有意识到，$P$ 是锁定在第3象限的，他们之所以写下这个条件，是因为判卷的时候，更容易评分，而对于使用标准方法的考生，可以少讨论一种情况，下图是官方给出的参考答案：

可以看到，$P$ 被错误的画在了第二象限，而 ⑪ 的公式 ( $R \sin \beta = l - R \sin \alpha$ ) 是错误的，是不可能成立的一个式子，只可能为：

$$ R \sin \beta = R \sin \alpha - l $$

虽然都是一个源头的错误，但这道高考题在题干中错了一次，在评分答案中错了两次。

我和我的同班同学刘翔，都在考场上意识到了这个问题，因为这个题目是压轴题，是20分的大题，是一道一眼就能看出来很简单的压轴题，是很不希望失分的一道有区分度的题目。

我在考试的时候，就发现了悖论，但我只是怀疑自己是否推导有错误，因为我觉得 “此时速度方向和 $y$ 轴正方向成锐角” 这句话，似乎是消除了某个自由度，而不应该只是为了判卷轻松，当我推导出 $y_p < 0$ 时，我是慌张的，这道大题，我大约前前后后也是用了将近20分钟的时间，最后心有忐忑的交了卷。

命题人在出完这个题之后，没有细致的推导验证，画蛇添足的写了一个错误的答案，让很多严谨的，很多物理水平很好的学生，反而因为自己的更出色，陷入了尴尬的情景，这是对考生们的不负责任。

如果只有这道题出错，或许我还能好受些，但是，前一道大题，也出现了重大的命题失职，算是给我们这些考生，带来了双重的打击。